소비자 선택 이론의 효용극대화 조건 유도

소비자 선택 이론에서 자주 등장하는 조건 중 하나는 다음 식이다.

$$\frac{MU_X}{P_X}=\frac{MU_Y}{P_Y}$$

이 식은 “각 재화에 지출한 1원당 한계효용이 같아지는 지점에서 소비자가 효용을 극대화한다”는 의미를 가진다. 처음에는 이 조건이 직관적으로는 이해되었지만, 수식으로 직접 유도하려고 하니 어느 부분에서 미분을 어떻게 적용해야 하는지가 헷갈렸다. 그래서 예산제약식과 총효용 함수를 이용해 이 조건을 직접 유도해보았다.

먼저 소비자가 두 재화 $X$, $Y$만 소비한다고 하자. 각 재화의 가격은 $P_X$, $P_Y$이고, 소비량은 $Q_X$, $Q_Y$이다. 소비자의 소득은 $I_0$로 고정되어 있다. 그러면 예산제약식은 다음과 같다.

$$P_XQ_X+P_YQ_Y=I_0$$

이 식을 $Q_Y$에 대해 정리하면,

$$Q_Y=\frac{I_0-P_XQ_X}{P_Y}$$

이다. 즉 예산이 고정되어 있으므로, $Q_X$를 더 많이 소비하면 $Q_Y$는 줄어든다. 이를 $Q_X$에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\frac{dQ_Y}{dQ_X}=-\frac{P_X}{P_Y}$$

이 식은 $X$를 한 단위 더 소비하기 위해 포기해야 하는 $Y$의 양을 의미한다. 다시 말해, 예산선의 기울기이다.

이제 총효용을 한계효용의 적분으로 표현해보자. 한계효용은 소비량이 아주 조금 증가할 때 총효용이 얼마나 증가하는지를 나타낸다. 따라서 한계효용을 누적하면 총효용을 얻을 수 있다.

$$U(Q_X,Q_Y) = \int_0^{Q_X} MU_X(q)\,dq + \int_0^{Q_Y} MU_Y(q)\,dq$$

여기서 중요한 점은 예산제약식 위에서는 $Q_Y$가 독립적인 변수가 아니라 $Q_X$에 의해 결정되는 값이라는 것이다. 따라서 총효용은 다음처럼 $Q_X$ 하나의 함수로 볼 수 있다.

$$U(Q_X) = \int_0^{Q_X} MU_X(q)\,dq + \int_0^{Q_Y(Q_X)} MU_Y(q)\,dq$$

이제 이 식을 $Q_X$에 대해 미분한다.

첫 번째 항은 적분의 위끝이 $Q_X$이므로 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같이 미분된다.

$$\frac{d}{dQ_X} \int_0^{Q_X} MU_X(q)\,dq = MU_X(Q_X)$$

두 번째 항은 조금 더 주의해야 한다. 두 번째 항의 적분 변수는 $q$이지만, 적분의 위끝인 $Q_Y$가 $Q_X$의 함수이다. 따라서 합성함수 미분을 적용해야 한다.

일반적으로,

$$\frac{d}{dx} \int_0^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x)$$

이다. 이를 두 번째 항에 적용하면,

$$\frac{d}{dQ_X} \int_0^{Q_Y(Q_X)} MU_Y(q)\,dq = MU_Y(Q_Y)\frac{dQ_Y}{dQ_X}$$

가 된다. 앞에서 예산제약식으로부터

$$\frac{dQ_Y}{dQ_X}=-\frac{P_X}{P_Y}$$

를 얻었으므로,

$$\frac{d}{dQ_X} \int_0^{Q_Y(Q_X)} MU_Y(q)\,dq = MU_Y(Q_Y)\left(-\frac{P_X}{P_Y}\right)$$

이다.

따라서 총효용을 $Q_X$에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\frac{dU}{dQ_X} = MU_X(Q_X) + MU_Y(Q_Y)\left(-\frac{P_X}{P_Y}\right)$$

정리하면,

$$\frac{dU}{dQ_X} = MU_X(Q_X) - MU_Y(Q_Y)\frac{P_X}{P_Y}$$

소비자가 효용을 극대화하는 내부해에서는 $Q_X$를 아주 조금 늘리거나 줄여도 총효용이 더 이상 증가하지 않아야 한다. 따라서 최적점에서는 다음 조건이 성립한다.

$$\frac{dU}{dQ_X}=0$$

그러므로,

$$MU_X(Q_X) - MU_Y(Q_Y)\frac{P_X}{P_Y} =0$$

이고, 이를 정리하면

$$MU_X(Q_X) = MU_Y(Q_Y)\frac{P_X}{P_Y}$$

이다. 양변을 $P_X$로 나누면,

$$\frac{MU_X(Q_X)}{P_X} = \frac{MU_Y(Q_Y)}{P_Y}$$

가 된다.

따라서 소비자 선택 이론의 효용극대화 조건은 다음과 같이 유도된다.

$$\boxed{ \frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y} }$$

이 식의 의미는 단순하다. 소비자는 제한된 예산 안에서 각 재화에 돈을 배분한다. 이때 $X$에 1원을 더 썼을 때 얻는 추가 효용은 $\frac{MU_X}{P_X}$이고, $Y$에 1원을 더 썼을 때 얻는 추가 효용은 $\frac{MU_Y}{P_Y}$이다.

만약

$$\frac{MU_X}{P_X}>\frac{MU_Y}{P_Y}$$

라면, $X$에 돈을 쓰는 것이 $Y$에 돈을 쓰는 것보다 더 효율적이다. 그러면 소비자는 $Y$ 소비를 줄이고 $X$ 소비를 늘리는 것이 좋다.

반대로

$$\frac{MU_X}{P_X}<\frac{MU_Y}{P_Y}$$

라면, $Y$에 돈을 쓰는 것이 더 효율적이다. 그러면 소비자는 $X$ 소비를 줄이고 $Y$ 소비를 늘리는 것이 좋다.

결국 소비자가 더 이상 소비 배분을 바꿀 이유가 없는 지점은 두 값이 같아지는 지점이다.

$$\frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}$$

즉, 효용극대화는 단순히 한계효용이 큰 재화를 더 많이 소비하는 것이 아니라, 가격까지 고려했을 때 “1원당 한계효용”이 같아지는 지점에서 이루어진다.