max 함수의 확률분포

서빙 경험에서 확률로

레스토랑에서 서빙 아르바이트를 4개월 정도 했다.

보통 디너 시작부터 마감까지 일했다. 구조는 단순했다. 손님이 식사를 다 마치고 나가야 마감을 시작할 수 있었다. 손님이 한 테이블이라도 남아 있으면 마감을 시작할 수 없었다.

그래서 waiter의 대부분의 시간은 정말로 waiting이었다. 그러다 보니 작은 확률 문제가 떠올랐다.

n개의 테이블이 있다고 하자. 각 테이블의 손님이 나가는 시간을 각각

$$X_1, X_2, X_3, \dots, X_n$$

이라고 두자.

각 테이블의 퇴장 시간이 서로 독립이라고 가정하면, 마감을 시작할 수 있는 시간은 이 값들의 평균이 아니다. 가장 늦게 나가는 테이블의 시간이다.

즉,

$$Y = \max\{X_1, X_2, X_3, \dots, X_n\}$$

이다.

max 함수의 확률분포

Y의 분포를 구하려면, 먼저 Y가 어떤 시간 x보다 작거나 같을 확률을 보면 된다.

$$P(Y \le x) = P(X_1 \le x, X_2 \le x, \dots, X_n \le x)$$

이 말은 직관적이다. 최댓값이 x보다 작거나 같으려면 모든 테이블의 손님이 x 이전에 나가야 한다.

각 사건이 독립이라면, 이 결합확률은 곱으로 분해된다.

$$P(Y \le x) = P(X_1 \le x)P(X_2 \le x)\cdots P(X_n \le x)$$

각 테이블의 퇴장 시간이 같은 분포를 따르고, 그 누적분포함수를 F_X(x)라고 하면

$$F_Y(x) = P(Y \le x) = F_X(x)^n$$

이 된다.

이게 핵심 결과다.

정규분포 예시

대략 각 테이블의 퇴장 시간이 표준정규분포를 따른다고 가정하면,

$$F_X(x) = \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt$$

이므로, 가장 늦게 나가는 테이블의 분포는

$$P(Y \le x) = \Phi(x)^n$$

이다.

n이 커질수록 그래프는 오른쪽으로 이동한다. 즉 테이블이 많아질수록, 모든 손님이 일찍 나가 있을 확률은 낮아진다.

수식은 현장에서 느끼던 감각과 잘 맞는다. 테이블 하나가 추가된다는 건 단순히 손님이 하나 더 생긴다는 뜻이 아니다. 누군가가 마지막 테이블이 될 가능성이 커지고, 결국 그 마지막 테이블이 실제 마감 시작 시간을 결정한다.