생산가능곡선을 직접 유도해보기

생산가능곡선이란 무엇인가?

생산가능곡선, 또는 PPC는 한 경제가 주어진 생산요소와 생산기술을 사용해 최대로 생산할 수 있는 두 산출물의 조합을 나타내는 곡선이다.

많은 경제학 교과서에서 생산가능곡선은 원점에 대해 볼록한 형태로 제시된다. 이는 한 재화를 더 많이 생산할수록 다른 재화를 포기해야 하는 기회비용이 점점 커진다는 의미로 설명된다.

나는 이 곡선을 단순히 외우는 그림이 아니라, 간단한 모델에서 유도할 수 있는 형태로 이해해보고 싶었다.

이상적인 조건 설정

먼저 생산량과 투입 자원이 모두 연속적이라고 가정한다. 자동차나 벽돌 같은 현실의 생산물은 불연속적이지만, 부드러운 곡선을 얻기 위해서는 생산량과 자원을 연속적인 변수로 보는 편이 자연스럽다.

두 번째로, 각각의 자원이 두 산출물 A와 B를 생산하는 상대적 효율이 서로 다르다고 가정한다. 어떤 자원은 A 생산에 더 적합하고, 어떤 자원은 B 생산에 더 적합하다.

세 번째로, 자원의 수가 충분히 많아서 전체 분포를 부드럽게 다룰 수 있다고 가정한다.

네 번째로, A와 B는 완전히 다른 재화가 아니라고 가정한다. 자동차와 볼펜보다는 빨간 볼펜과 파란 볼펜에 가깝다고 생각한다. 이렇게 하면 완전히 다른 생산 공정보다는 자원 배분의 효과에 집중할 수 있다.

생산 효율에 따라 자원을 나누기

두 산출물 A와 B에 대한 생산 효율이 각각 m:n인 자원의 집합을 P(m,n)이라고 하자.

이제 모든 자원 집합을 순서대로 나열한다. 한쪽에는 A 생산에 상대적으로 더 적합한 자원이 있고, 다른 쪽에는 B 생산에 상대적으로 더 적합한 자원이 있다.

임의의 기준점 $t$를 선택한다. $t$의 왼쪽에 있는 자원은 A 생산에 배정하고, $t$의 오른쪽에 있는 자원은 B 생산에 배정한다.

중요한 규칙은 자원을 아무렇게나 배분하지 않는다는 점이다. A에 가장 적합한 자원부터 A에 배정하고, B에 가장 적합한 자원부터 B에 배정한다.

면적으로 곡선 유도하기

그림은 자원을 하나의 단위 정사각형으로 나타낸 것이다. 정사각형 안의 각 점은 A와 B에 대해 서로 다른 상대적 생산 적합성을 가진 작은 자원 단위라고 볼 수 있다.

대각선은 이 정사각형을 두 영역으로 나눈다. 대각선 위쪽은 A 생산에 상대적으로 더 적합한 자원이고, 대각선 아래쪽은 B 생산에 상대적으로 더 적합한 자원이라고 해석한다.

이제 $0 \le t \le 1$인 기준점 $t$를 잡는다.

$t$의 왼쪽에 있는 자원은 A 생산에 배정한다. 이때 A를 생산하는 영역은 왼쪽 직사각형에서 대각선 아래 삼각형을 뺀 부분이다.

왼쪽 직사각형의 넓이는 $t$이고, 대각선 아래 삼각형의 넓이는 $t^2/2$이다. 따라서:

$$S_A = t - \frac{t^2}{2}$$ $$S_A = t\left(1 - \frac{t}{2}\right)$$

$t$의 오른쪽에 있는 자원은 B 생산에 배정한다. B를 생산하는 영역은 $x=t$부터 $x=1$까지 대각선 아래에 있는 부분이다.

대각선의 높이는 $x$이므로 이 넓이는 다음과 같다.

$$S_B = \int_t^1 x\,dx$$ $$S_B = \frac{1^2 - t^2}{2}$$ $$S_B = \frac{1 - t^2}{2} = (1 - t)\left(\frac{1 + t}{2}\right)$$

따라서 생산가능곡선은 다음과 같은 매개변수식으로 나타낼 수 있다.

$$A(t) = t\left(1 - \frac{t}{2}\right)$$ $$B(t) = (1 - t)\left(\frac{1 + t}{2}\right)$$ $$0 \le t \le 1$$

$t=0$이면 모든 생산이 B 쪽에 배정되어 $A=0$, $B=1/2$가 된다. 반대로 $t=1$이면 모든 생산이 A 쪽에 배정되어 $A=1/2$, $B=0$이 된다.

기울기와 한계기회비용 증가

두 산출물을 각각 $t$에 대해 미분하면 다음과 같다.

$$\frac{dA}{dt} = 1 - t$$ $$\frac{dB}{dt} = -t$$

따라서 생산가능곡선의 기울기는 다음과 같다.

$$\frac{dB}{dA} = \frac{dB/dt}{dA/dt} = -\frac{t}{1 - t}$$

$t$가 커질수록 이 기울기는 점점 더 음의 방향으로 커진다. 즉 A를 더 많이 생산할수록 추가적인 A를 위해 포기해야 하는 B의 양이 점점 커진다.

이것이 한계기회비용 증가의 수학적 표현이다.

왜 볼록한 곡선이 되는가

처음 A의 생산량을 늘릴 때에는 A 생산에 특히 적합한 자원들이 A에 투입된다. 이 자원들은 애초에 B 생산에는 상대적으로 덜 적합했기 때문에, A 생산을 늘려도 포기해야 하는 B의 양은 작다.

하지만 A 생산량을 계속 늘리려면 점점 A에 덜 적합하고 B에 더 적합한 자원까지 A 생산에 투입해야 한다. 이때부터는 A를 한 단위 더 생산하기 위해 포기해야 하는 B의 양이 커진다.

이것이 생산가능곡선이 원점에 대해 볼록하게 나타나는 이유다. 이 형태는 자원의 이질성과 효율적 배분이라는 조건에서 자연스럽게 나온다.

이 모델의 한계

이 모델은 매우 이상화된 모형이다.

현실의 생산량과 자원은 완전히 연속적이지 않다. 또한 현실의 자원은 단순히 A와 B에 대한 생산 효율 비율 하나만으로 설명되지 않는다. 어떤 생산 과정은 초기 자본, 협업 구조, 특정한 자원 조합을 필요로 한다.

A와 B가 서로 비슷한 재화라는 가정도 제한적이다. 두 재화가 완전히 다른 생산 공정을 요구한다면 이 모델의 현실성은 크게 낮아진다.

생산가능곡선이 항상 교과서적인 볼록 형태로 나타나는 것도 아니다. 초기 자본이 많이 필요하거나 규모의 경제가 강하게 작동하는 산출품의 경우, 한 산업에 자원을 집중할수록 평균 생산성이 오히려 증가할 수 있다. 이 경우 곡선은 볼록이 아니라 오목한 형태로 나타날 수도 있다.

그럼에도 이 사고 실험은 교과서의 곡선 뒤에 숨어 있는 가정을 드러내는 데 도움이 된다. 생산가능곡선은 단순한 그래프가 아니라, 자원의 이질성, 효율적 배분, 한계기회비용 증가가 압축된 모델이다.